Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral cos (raiz2 x+3) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva de
integral cosl(raiz2x+3r),dx
usando substituição e, na sequência, integração por partes. Vamos primeiro eliminar a raiz com uma mudança de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raiz2x+3
Então t^2 = 2x+3 e diferenciando obtemos
2t,dt = 2,dx Longrightarrow dx = t,dt

Passo 3

Substituindo em integral cos(raiz2x+3),dx, temos
integral cos(t),l(t,dtr) = integral tcos(t),dt

Passo 4

Para calcular integral tcos(t),dt usamos integração por partes. Seja
u = t, dv = cos(t),dt
então
du = dt, v = sin(t)
Pelo fórmula de partes,
integral tcos(t),dt = u,v - integral v,du = tsin(t) - integral sin(t),dt = tsin(t) + cos(t) + C

Passo 5

Voltando à variável x, lembramos que t = raiz2x+3. Logo uma antiderivada é
raiz2x+3,sinl(raiz2x+3r) + cosl(raiz2x+3r) + C

Resposta

integral cosl(raiz2x+3r),dx = raiz2x+3,sinl(raiz2x+3r) + cosl(raiz2x+3r) + C

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