Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral ln (raizx+1) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral lnl(raizx+1r),dx
usando primitivação por substituição e por partes. Vamos precisar reconhecer que
ln(raizx+1)=tfrac12ln(x+1)
e depois aplicar integração por partes em integral ln(x+1),dx.

Passo 2

Escrevendo a integral em função de ln(x+1), temos
integral lnl(raizx+1r),dx = integral tfrac12,ln(x+1),dx = tfrac12 integral ln(x+1),dx

Passo 3

Para calcular integral ln(x+1),dx, use integração por partes com
u = ln(x+1), dv = dx
Então
du = 1x+1,dx, v = x
A fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du,
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integral ln(x+1),dx = xln(x+1) - integral xcdot1x+1,dx

Passo 4

Para integral xx+1,dx, escreva
xx+1 = 1 - 1x+1,
então
integral xx+1,dx = integral!1,dx - integral 1x+1,dx = x - ln(x+1)
Substituindo de volta,
integral ln(x+1),dx = xln(x+1) - l(x - ln(x+1)r) = (x+1)ln(x+1) - x + C

Passo 5

Voltando ao fator tfrac12, obtemos
integral lnl(raizx+1r),dx = tfrac12l[(x+1)ln(x+1) - xr] + C

Resposta

integral lnl(raizx+1r),dx = x+12,ln(x+1) ;-;x2 + C

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