Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral x ln (raizx+5) d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral x ,lnl(raizx+5r),dx,
usando propriedades de logaritmo, substituição e integração por partes. Vamos usar que
ln(raizx+5)=tfrac12ln(x+5)
e depois aplicar integração por partes em integral xln(x+5),dx.

Passo 2

Primeiro, fato que
lnl(raizx+5r) =tfrac12ln(x+5),
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integral x,lnl(raizx+5r),dx =tfrac12integral x,ln(x+5),dx
Convenhamos em chamar
I=integral x,ln(x+5),dx

Passo 3

Para calcular I, usamos integração por partes. Seja
u=ln(x+5), dv=x,dx
Então
du=1x+5,dx, v=x^22
Pela fórmula
I =uv-integral v,du =x^22ln(x+5) -integral x^22cdot1x+5,dx
Isto é,
I =x^22ln(x+5) -12integral x^2x+5,dx

Passo 4

Precisamos de
integral x^2x+5,dx.
Fazemos divisão polinomial:
x^2x+5 =x-5+25x+5
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integral x^2x+5,dx =integral(x-5),dx+25integral1x+5,dx =x^22-5x+25lnl|x+5r|+C

Passo 5

Voltando a I:
I =x^22ln(x+5) -12l(x^22-5x+25ln(x+5)r)+C
=x^22ln(x+5) -x^24+5x2-252ln(x+5)+C
Como a integral original é tfrac12 I, temos
integral x,lnl(raizx+5r),dx =12,I =x^24ln(x+5) -x^28 +5x4 -254ln(x+5)+C

Resposta

boxed integral x,lnl(raizx+5r),dx =x^24ln(x+5) -x^28 +5x4 -254ln(x+5)+C

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