Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para encontrar a equação da reta tangente a uma curva num ponto específico. A curva é definida por duas equações paramétricas:
E o valor do parâmetro dado é
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando
. Vamos substituir
nas equações de
e
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Como temos uma curva paramétrica, a inclinação
da tangente é dada pela derivada
. Para isso, precisamos calcular
e
e depois dividir uma pela outra:
Então,
Passo 4
Substituímos
na expressão de
para encontrar a inclinação da tangente no ponto:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 5
Agora que temos a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é: