Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado:
x=t^2+4 t-5, y=2 t+1 ; t=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para encontrar a equação da reta tangente a uma curva num ponto específico. A curva é definida por duas equações paramétricas:
x = t^2 + 4t - 5, y = 2t + 1
E o valor do parâmetro dado é t = 2 . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando t = 2 . Vamos substituir t = 2 nas equações de x e y :
x = (2)^2 + 4 times 2 - 5 = 4 + 8 - 5 = 7
y = 2 times 2 + 1 = 4 + 1 = 5
Então, o ponto de tangência é (7, 5) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Como temos uma curva paramétrica, a inclinação m da tangente é dada pela derivada dydx . Para isso, precisamos calcular dydt e dxdt e depois dividir uma pela outra:
dxdt = ddt(t^2 + 4t - 5) = 2t + 4
dydt = ddt(2t + 1) = 2
Então,
dydx = dydtdxdt = 22t + 4

Passo 4

Substituímos t = 2 na expressão de dydx para encontrar a inclinação da tangente no ponto:
dydx = 22 times 2 + 4 = 24 + 4 = 28 = 14
Então, a inclinação m da reta tangente é 14 .

Passo 5

Agora que temos a inclinação m = 14 e o ponto de tangência (7, 5) , podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo os valores:
y - 5 = 14(x - 7)

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto t = 2 é:
y - 5 = 14(x - 7)

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