Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral e^x+3 e^2 x1+e^2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^x + 3e^2x1 + e^2x , dx
usando técnicas de substituição e primitivos conhecidos. Vamos aproveitar que aparece e^x e e^2x para fazer uma troca que torne o integrando mais simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x,
logo
du = e^x , dx Longrightarrow dx = duu
Também observamos que e^2x = (e^x)^2 = u^2. Assim o denominador 1 + e^2x vira 1 + u^2.

Passo 3

Reescrevendo o numerador e o diferencial em função de u:
e^x + 3e^2x = u + 3u^2, dx = duu
Logo o integrando fica
e^x + 3e^2x1 + e^2x,dx = u + 3u^21 + u^2;duu = u(1 + 3u)u(1+u^2),du = 1 + 3u1 + u^2,du

Passo 4

Agora separamos em duas parcelas:
integral 1 + 3u1 + u^2,du = integral 11 + u^2,du ;+; 3integral u1 + u^2,du

Passo 5

Usamos primitivos conhecidos:
  • integral 11 + u^2,du = arctan(u).
  • integral u1 + u^2,du faz a substituição v = 1+u^2, dv = 2u,du, dando
    integral u1 + u^2,du = 12lnl(1+u^2r).
Portanto
integral 1 + 3u1 + u^2,du = arctan(u) + 3cdot 12 lnl(1+u^2r) = arctan(u) + 32lnl(1+u^2r) + C

Passo 6

Voltando à variável x com u=e^x, obtemos
arctanl(e^xr) + 32lnl(1+e^2xr) + C

Resposta

integral e^x + 3e^2x1 + e^2x , dx = arctanl(e^xr) + 32lnl(1+e^2xr) + C

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