Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado:
x=t^3-1, y=2 t^2-3 t ; t=1

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica
x = t^3 - 1, y = 2t^2 - 3t
e pede a reta tangente no ponto correspondente a t=1. Para isso, precisamos de dois ingredientes básicos:
  1. As coordenadas do ponto em que t=1.
  2. A inclinação da reta tangente, dada por
dydx = dydtdxdt

Passo 2

Vamos achar as coordenadas (x0,y0) no ponto t=1:
x(1) = 1^3 - 1 = 0, y(1) = 2cdot1^2 - 3cdot1 = 2 - 3 = -1
Logo, o ponto é (x0,y0) = (0,-1).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt = 3t^2, dydt = 4t - 3
Em t=1 temos
dxdt|t=1 = 3cdot1^2 = 3, dydt|t=1 = 4cdot1 -3 = 1
Portanto, a inclinação da reta tangente é
m = dydx|t=1 = 13

Passo 4

A equação ponto-inclinação da reta tangente em (x0,y0) com coeficiente angular m é
y - y0 = m,(x - x0)
Substituindo (x0,y0)=(0,-1) e m=tfrac13, obtemos
y - (-1) = 13(x - 0) Longrightarrow y + 1 = x3 Longrightarrow y = x3 - 1

Resposta

A reta tangente é
y = 13,x - 1

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