Esboce a curva dada em coordenada polares:
r=raiztheta, theta in[0,4 pi]

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva em coordenadas polares
r = raiztheta, thetain[0,4pi]
O conteúdo é “gráficos em coordenadas polares”: vamos calcular valores de r em alguns theta chave, marcar esses pontos no plano polar e ligar suavemente para obter a espiral.

Passo 2

Calculemos r em múltiplos de pi:
theta=0&implies r(0)=raiz0=0, theta=pi&implies r(pi)=raizpiapprox1,77, theta=2pi&implies r(2pi)=raiz2piapprox2,51, theta=3pi&implies r(3pi)=raiz3piapprox3,07, theta=4pi&implies r(4pi)=raiz4piapprox3,54

Passo 3

Marque no plano polar os pontos
(0,0),;(raizpi,pi),;(raiz2pi,2pi),;(raiz3pi,3pi),;(raiz4pi,4pi)
Cada par (r,theta) significa: a distância r do polo num ângulo theta em relação ao eixo polar.

Passo 4

Observe que
drdtheta=12raiztheta>0foralltheta>0,
ou seja, r cresce monotonamente com theta. Entre cada ponto, trace uma curva suave ligando-os, formando voltas graduais em torno do polo.

Passo 5

Concluímos que a curva é uma espiral que parte do polo em theta=0 e, ao girar de 0 até 4pi, faz exatamente duas voltas, afastando-se do centro segundo r=raiztheta.

Resposta

O esboço é uma espiral de duas voltas em coordenadas polares, começando no polo ( r=0) e aumentando suavemente a cada rotação até rapprox3,54 em theta=4pi.

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