Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado:
x=2 cos (t), y=6 sen(t) ; t=pi / 4

Passo 1

O enunciado fornece a curva paramétrica
x = 2cos(t), y = 6sin(t)
e pede a reta tangente no ponto correspondente a t = tfracpi4.
O conteúdo chave é derivada de curvas paramétricas, onde a inclinação da reta tangente é
dydx = dydtdxdt

Passo 2

Calculamos as derivadas em função de t:
dxdt = -2sin(t),
dydt = 6cos(t)

Passo 3

A inclinação da reta tangente é
m = dydx = 6cos(t)-2sin(t) = -3cot(t)
No ponto t = tfracpi4, temos
m = -3cotl(tfracpi4r) = -3cdot1 = -3
As coordenadas do ponto são
x0 = 2cosl(tfracpi4r) = raiz2, y0 = 6sinl(tfracpi4r) = 3raiz2

Passo 4

Usamos a forma ponto-declive da reta:
y - y0 = m,(x - x0)
Substituindo m=-3, x0=raiz2 e y0=3raiz2, obtemos
y - 3raiz2 = -3l(x - raiz2r)
ou, desenvolvendo,
y = -3x + 6raiz2

Resposta

A equação da reta tangente é
y - 3raiz2 = -3l(x - raiz2r),
equivalente a
y = -3x + 6raiz2

Exercícios relacionados