Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral ln [sen(x)] cdot sen^2(x) cos (x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral lnl(sen(x)r),sen^2(x),cos(x),dx
O conteúdo aqui é técnica de integração: primeiro vamos usar uma substituição para simplificar a parte trigonométrica e depois aplicar integração por partes para tratar o fator ln(t).

Passo 2

Fazemos a substituição
t = sen(x), dt = cos(x),dx
Assim, sen^2(x)cos(x),dx = t^2,dt e ln(sen(x)) = ln(t). A integral passa a ser
integral ln(t),t^2,dt

Passo 3

Agora precisamos calcular
integral t^2,ln(t),dt
Para isso, usamos integração por partes, escolhendo
u = ln(t), dv = t^2,dt
de modo que
du = 1t,dt, v = t^33
A fórmula integral u,dv = u v - integral v,du dá:

Passo 4

integral t^2ln(t),dt = t^33ln(t) - integral t^33cdot1t,dt = t^33ln(t) - 13integral t^2,dt
Como integral t^2,dt = tfract^33, obtemos
integral t^2ln(t),dt = t^33ln(t) - 13cdott^33 = t^33ln(t) - t^39 + C

Passo 5

Voltando à variável original x com t=sen(x), a primitiva fica
sin^3(x)3,lnl(sen(x)r) - sin^3(x)9 + C

Resposta

boxedsin^3(x)3,lnl(sen(x)r);-;sin^3(x)9;+;C

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