Calcule os seguintes limites:
lim x +infty raiz4 x^2-3 x-raiz4 x^2+8

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto+inftyl(raiz4x^2-3x-raiz4x^2+8r).
O tipo de indeterminação é infty-infty, então vamos usar racionalização, isto é, multiplicar e dividir pelo conjugado.

Passo 2

Multiplicando e dividindo pelo conjugado raiz4x^2-3x+raiz4x^2+8, obtemos
raiz4x^2-3x-raiz4x^2+8 =(raiz4x^2-3x-raiz4x^2+8)(raiz4x^2-3x+raiz4x^2+8) raiz4x^2-3x+raiz4x^2+8 =(4x^2-3x)-(4x^2+8)raiz4x^2-3x+raiz4x^2+8 =-3x-8raiz4x^2-3x+raiz4x^2+8

Passo 3

Para xto+infty temos x>0, logo |x|=x e
raiz4x^2-3x=2xraiz1-34x, raiz4x^2+8=2xraiz1+2x^2
Assim
-3x-8raiz4x^2-3x+raiz4x^2+8 =-3-8x2l(raiz1-34x+raiz1+2x^2r)
Fazendo xto+infty cada um dos termos tfrac8x, tfrac34x e tfrac2x^2 tende a zero, e as raízes tendem a 1. Logo o limite vale
-32(1+1)=-34

Resposta

-34

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