Sabendo que
para todo
, prove que
.
Passo 1
O enunciado diz que para todo x ≠ 0 temos |f(x)| ≤ 1/x⁵, e quer mostrar que f(x) → 0 quando x → +∞. O conteúdo aqui é definição de limite para funções reais e o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).
Passo 2
Primeiro, a gente sabe que a função g(x) = 1/x⁵ tende a zero quando x → +∞. Em termos de ε–N, dado ε > 0, existe N > 0 tal que se x > N então 1/x⁵ < ε. Isso porque 1/x⁵ é uma função positiva que decresce para 0.
Vamos usar a desigualdade |f(x)| ≤ 1/x⁵. Como 1/x⁵ → 0, podemos dizer que −1/x⁵ ≤ f(x) ≤ 1/x⁵. Esse encadeamento de desigualdades é a condição perfeita para aplicar o Teorema do Confronto: se as funções −1/x⁵ e 1/x⁵ tendem a 0, então f(x) também tende a 0.
Vamos usar a desigualdade |f(x)| ≤ 1/x⁵. Como 1/x⁵ → 0, podemos dizer que −1/x⁵ ≤ f(x) ≤ 1/x⁵. Esse encadeamento de desigualdades é a condição perfeita para aplicar o Teorema do Confronto: se as funções −1/x⁵ e 1/x⁵ tendem a 0, então f(x) também tende a 0.
Passo 3
Agora, fazendo tudo no estilo ε–N: fixo ε > 0. Pelo comportamento de 1/x⁵, existe N tal que x > N implica 1/x⁵ < ε. Então, sempre que x > N temos |f(x) − 0| = |f(x)| ≤ 1/x⁵ < ε. Essa é exatamente a definição de limite f(x) → 0 quando x → +∞.
Passo 4
Concluímos, portanto, que limₓ→+∞ f(x) = 0 por definição de limite e pelo Teorema do Confronto.
Resposta
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