Calcule os seguintes limites:
lim x -infty |x^3-2|3-x^3

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto -infty lvert x^3-2rvert3 - x^3
O conteúdo aqui é limites no infinito envolvendo módulo de polinômios. Vamos usar análise de sinal dentro do módulo e, em seguida, divisão pelo termo de maior grau para extrair o comportamento dominante.

Passo 2

Quando xto -infty, temos x^3to -infty, logo
x^3-2<0,
e portanto
lvert x^3-2rvert = -(x^3-2) = -x^3+2

Passo 3

Reescrevendo o denominador, temos
3 - x^3 = -,x^3 + 3

Passo 4

Substituindo essas expressões no quociente, fica
lvert x^3-2rvert3 - x^3 = -x^3+2-x^3+3
Para evidenciar o comportamento quando lvert xrvert é grande, fatoramos -x^3 em numerador e denominador:
-,x^3+2 = -,x^3l(1-tfrac2x^3r), -,x^3+3 = -,x^3l(1-tfrac3x^3r)
Cancelando o fator comum -x^3, o quociente passa a ser
1 - tfrac2x^31 - tfrac3x^3

Passo 5

Como xto -infty, temos tfrac2x^3to 0 e tfrac3x^3to 0. Logo
limxto -infty1 - tfrac2x^31 - tfrac3x^3 = 1-01-0 = 1

Resposta

O valor do limite é 1.

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