Calcule os seguintes limites:
lim x -infty arctg(x^4-2 x+1x^3+4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -inftyarctg!gl(x^4-2x+1x^3+4gr)
O conteúdo é limite de função composta e assíntotas horizontais da função arctg. Vamos primeiro achar o comportamento do quociente x^4-2x+1x^3+4 quando xto -infty e depois usar o fato de que
limtto -inftyarctg(t)=-pi2

Passo 2

Para simplificar o quociente, divido numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador, que é x^3:
x^4-2x+1x^3+4 =x^3l(x-tfrac2x^2+tfrac1x^3r)x^3l(1+tfrac4x^3r) =x-tfrac2x^2+tfrac1x^31+tfrac4x^3

Passo 3

Agora, quando xto -infty, os termos tfrac2x^2, tfrac1x^3 e tfrac4x^3 vão para zero. Logo
x-tfrac2x^2+tfrac1x^31+tfrac4x^3 ;longrightarrow; x com xto -infty,
isto é, o quociente tende a -infty.

Passo 4

Por fim, usando o comportamento assintótico de arctg, temos
limxto -inftyarctg!l(tfracx^4-2x+1x^3+4r) =limtto -inftyarctg(t) =-pi2

Resposta

-tfracpi2

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