Lembre que senh(x)=e^x-e^-x2, cosh (x)=e^x+e^-x2 e tgh(x)=senh(x)cosh (x).
(b) Encontre, caso existam, os limites de tgh(x) e de 4 x^3-2|1-2 x| quando x +infty e x -infty.

Passo 1

O enunciado pede os limites, quando xto+infty e xto-infty, de duas funções:
  1. tgh(x)=dfrace^x-e^-xe^x+e^-x.
  2. f(x)=dfrac4x^3-2lvert 1-2xrvert.
    Vamos usar propriedades de limites no infinito e comparações entre termos exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Calcular limxto+inftytgh(x).
Começamos reescrevendo
tgh(x) =e^x-e^-xe^x+e^-x =1 - e^-2x1 + e^-2x
ao fatorar e^x no numerador e no denominador. Para xto+infty temos e^-2xto 0, logo
limxto+inftytgh(x) =1 - 01 + 0 =1

Passo 3

Calcular limxto-inftytgh(x).
Usando a mesma forma
tgh(x) =1 - e^-2x1 + e^-2x,
quando xto-infty, e^-2x=e^2|x|to+infty. Então
limxto-inftytgh(x) =limuto+infty1 - u1 + u =-infty+infty =-1

Passo 4

Calcular limxto+infty4x^3-2lvert 1-2xrvert.
Para xto+infty, 1-2xapprox -2x<0 e lvert1-2xrvert=2x-1sim2x. Assim
4x^3-2lvert1-2xrvert sim4x^32x =2x^2,
e como 2x^2to+infty tem-se
limxto+infty4x^3-2lvert1-2xrvert =+infty

Passo 5

Calcular limxto-infty4x^3-2lvert 1-2xrvert.
Para xto-infty, 1-2xapprox1+2|x|>0 e lvert1-2xrvert=1+2|x|sim2|x|=-2x. Logo
4x^3-2lvert1-2xrvert sim4x^3-2x =-2x^2,
e como -2x^2to-infty segue que
limxto-infty4x^3-2lvert1-2xrvert =-infty

Resposta

limxto+inftytgh(x)=1,
limxto-inftytgh(x)=-1,
limxto+infty4x^3-2lvert1-2xrvert=+infty,
limxto-infty4x^3-2lvert1-2xrvert=-infty

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