Find the volume enclosed by the surface generated by revolving the equilateral triangle with vertices (0,0),(a, 0), (12 a, 12 raiz3 a ) about the y-axis.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero de vértices (0,0), (a,0) e l(tfrac a2,tfracraiz32ar) e pede o volume do sólido obtido ao girá-lo em torno do eixo y. Vamos usar o Teorema de Pappus, que diz que o volume vale a área da região vezes o comprimento do caminho percorrido pelo seu centróide.

Passo 2

Calculamos primeiro a área do triângulo. A base é a e a altura é
h = raiz32,a
Como a área de um triângulo é tfracbasetimesa<ura2, temos
Área = acdot h2 = acdotl(tfracraiz32ar)2 = raiz34,a^2 Á

Passo 3

O centróide do triângulo tem abscissa igual à média das abscissas dos vértices:
xG = 0 + a + tfrac a23 = a2

Passo 4

Ao girar em torno do eixo y, o centróide descreve um círculo de raio xG. Logo, o comprimento desse caminho é
L = 2pi,xG = 2picdota2 = pi,a

Passo 5

Pelo Teorema de Pappus, o volume é
V = (área do triângulo) times L = raiz34,a^2 ;times;pi,a = raiz3,pi4,a^3 áâ

Resposta

V = raiz3,pi4,a^3

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