Find the volume enclosed by the surface generated by revolving the equilateral triangle with vertices
,
) about the
-axis.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo equilátero de vértices
,
e
e pede o volume do sólido obtido ao girá-lo em torno do eixo
. Vamos usar o Teorema de Pappus, que diz que o volume vale a área da região vezes o comprimento do caminho percorrido pelo seu centróide.
Passo 2
Calculamos primeiro a área do triângulo. A base é
e a altura é
Como a área de um triângulo é
, temos
Passo 3
O centróide do triângulo tem abscissa igual à média das abscissas dos vértices:
Passo 4
Ao girar em torno do eixo
, o centróide descreve um círculo de raio
. Logo, o comprimento desse caminho é
Passo 5
Pelo Teorema de Pappus, o volume é