Calcule os seguintes limites
(h) lim x 0(1+2 x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0(1+2x)^x
Esse é um caso de forma indeterminada 1^0. Para resolver, vamos usar a transformação com logaritmo e depois retomar a exponencial.

Passo 2

Definimos
y=(1+2x)^x,
de modo que
ln y = xln(1+2x)
Agora basta estudar o limite de ln y quando xto0.

Passo 3

Para small x, usamos a expansão de Taylor de ln(1+2x):
ln(1+2x)=2x-(2x)^22+O(x^3)=2x-2x^2+O(x^3)
Multiplicando por x, temos
xln(1+2x)=2x^2-2x^3+O(x^4)longrightarrow0quando xto0
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limxto0ln y =0

Passo 4

Como limxto0ln y=0, segue que
limxto0y = limxto0e^ln y = e^0 = 1

Resposta

1

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