Calcule os seguintes limites
(f) lim x +infty(x+4x-1)^x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+inftyl(x+4x-1r)^x
Esse é um caso de forma indeterminada (1)^infty, então vamos usar o truque de tomar logaritmo e desenvolver a expressão para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Seja
L=limxto+inftyl(x+4x-1r)^x
Tomamos logaritmo natural:
ln L = limxto+infty x ,lnl(x+4x-1r)
Agora escrevemos
lnl(x+4x-1r) = lnl(1+tfrac4xr) ;-;lnl(1-tfrac1xr)

Passo 3

Para xto+infty, usamos as expansões
lnl(1+tfrac4xr)=4x+Ol(tfrac1x^2r), lnl(1-tfrac1xr)=-1x+Ol(tfrac1x^2r)
Logo,
lnl(x+4x-1r) =4x+1x+Ol(tfrac1x^2r) =5x+Ol(tfrac1x^2r)
Multiplicando por x, obtemos
ln L = limxto+infty xl(5x+O(tfrac1x^2)r) =5

Passo 4

Retornando ao valor de L, temos
L=e^ln L=e^5

Resposta

e^5

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