Calcule os seguintes limites:
lim x 0^+(1x-3e^x-1)

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+l(1x-3e^x-1r)
Para resolver, vamos usar a expansão em série de Taylor de e^x em torno de x=0 e depois construir a série de 1/(e^x-1).

Passo 2

Expandindo e^x em série de Taylor até termos de ordem x^2, temos
e^x = 1 + x + x^22 + O(x^3),
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e^x - 1 = x + x^22 + O(x^3)

Passo 3

Para encontrar 1/(e^x-1), escrevemos
1e^x-1 = 1xl(1 + tfracx2 + O(x^2)r) = 1x,11 + tfracx2 + O(x^2)
Usando a expansão tfrac11+u=1-u+u^2+O(u^3) com u=tfracx2+O(x^2), obtemos
1e^x-1 = 1xl(1 - x2 + O(x^2)r) = 1x - 12 + O(x)

Passo 4

Multiplicando por 3,
3e^x-1 = 3x - 32 + O(x)
Então
1x-3e^x-1 = 1x - l(3x - 32 + O(x)r) = -2x + 32 + O(x)

Passo 5

Quando xto0^+, o termo dominante é -2/x, que tende a -infty.

Resposta

-infty

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