Faça um esboço dos gráficos da seguinte função, seguindo o roteiro fornecido em aula:
h(x)=x1-x^2;

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
h(x)=x1 - x^2
Usaremos o “roteiro de esboço” que consiste em determinar: domínio, interceptos, simetria, assíntotas, sinal, monotonicidade, concavidade e, por fim, desenhar qualitativamente cada ramo.

Passo 2

Determinar domínio, interceptos e simetria:
– Domínio: ,1 - x^2neq 0implies xneq pm 1. Logo
Dom(h)=(-infty,-1)cup(-1,1)cup(1,infty)
– Intercepto em x: resolver h(x)=0 x=0. Logo o gráfico passa por (0,0).
– Intercepto em y: é h(0)=0.
– Verificar simetria:
h(-x)=-x1 - (-x)^2=-x1 - x^2=-h(x),
ou seja, h é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Encontrar assíntotas:
– Verticais quando xtopm1: 1 - x^2to0 e lvert h(x)rvert toinfty. Logo
x=1e x=-1
são assíntotas verticais.
– Horizontal para lvert xrverttoinfty:
limxtoinftyh(x)=limxtoinftyx-x^2(1 - 1/x^2)=-limxtoinfty1x11-1/x^2=0,
e o mesmo vale para xto -infty. Então
y=0
é assíntota horizontal.

Passo 4

Estudar o sinal de h(x):
– Numerador x é positivo se x>0, negativo se x<0.
– Denominador 1 - x^2 é positivo em |x|<1, negativo em |x|>1.
Montando em intervalos:
c|cccc x &(-infty,-1)&(-1,0)&(0,1)&(1,infty)hline num & - & - & + & + den & - & + & + & -hline h(x) & + & - & + & -

Passo 5

Derivada primeira e monotonicidade:
h'(x) =(1 - x^2)cdot1 - xcdot(-2x)(1-x^2)^2 =1 - x^2 +2x^2(1-x^2)^2 =1 + x^2(1-x^2)^2
Como 1+x^2>0 e (1-x^2)^2>0 em todo o domínio, conclui-se
h'(x)>0forall xinDom(h),
isto é, h é estritamente crescente em cada um dos três intervalos.

Passo 6

Derivada segunda e concavidade:
Partindo de
h'(x)=(1+x^2)(1-x^2)^-2,
obtém‐se
h''(x) =2x,(1-x^2)^-2+(1+x^2)cdot4x,(1-x^2)^-3 =2x,(3+x^2)(1-x^2)^3
O fator 3+x^2 é sempre positivo. A concavidade muda de sinal onde h''(x)=0, ou seja, em x=0. Analisando sinal de h'':
– Em (-1,0): x<0 e (1-x^2)^3>0 implies h''<0 (côncavo para baixo).
– Em (0,1): x>0 e (1-x^2)^3>0 implies h''>0 (côncavo para cima).
– Em (- fty,-1): x<0 e (1-x^2)^3<0 implies h''>0 (côncavo para cima).
– Em (1,infty): x>0 e (1-x^2)^3<0 implies h''<0 (côncavo para baixo).
O ponto (0,0) é ponto de inflexão.

Passo 7

Esboço qualitativo dos quatro ramos, usando:
– Assíntotas x=-1,,x=1 (verticais) e y=0 (horizontal).
– Crescente em cada intervalo.
– Sinal de h e concavidade conforme tabela do Passo 4 e Passo 6.
– Simetria ímpar (origem).
Em palavras:
– Para xto-infty, h(x)to0^+, a curva cresce, é côncava para cima até x=-1^-tendendo a +infty.
– No intervalo (-1,0), h cai de +infty até 0, permanece crescente (pois menos negativo é maior) mas côncava para baixo.
– Em (0,1), sobe de 0 a +infty, côncava para cima.
– Em (1,infty), desce de -infty a 0^-, côncava para baixo.

Resposta

O gráfico de h(x)=x1-x^2 possui:
bul<=t Domínio (- fty,-1)cup(-1,1)cup(1,infty).
bul<=t Intercepto (0,0).
bul<=t Função ímpar (simetria na origem).
bul<=t Assíntotas verticais x=pm1 e horizontal y=0.
bul<=t Crescente em cada ramo, sem máximos ou mínimos interiores.
bul<=t Concavidade alternando em cada intervalo, com ponto de inflexão em (0,0).
O esboço mostra quatro ramos aproximando‐se das assíntotas conforme descrito acima. (Ver descrição detalhada no Passo 7.)

Exercícios relacionados