Faça um esboço dos gráficos da seguinte função, seguindo o roteiro fornecido em aula:
;
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
Usaremos o “roteiro de esboço” que consiste em determinar: domínio, interceptos, simetria, assíntotas, sinal, monotonicidade, concavidade e, por fim, desenhar qualitativamente cada ramo.
Passo 2
Determinar domínio, interceptos e simetria:
– Domínio: . Logo
– Domínio:
– Intercepto em
: resolver
dá
. Logo o gráfico passa por
.
– Intercepto em : é
.
– Verificar simetria:
– Intercepto em
– Verificar simetria:
ou seja,
é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Encontrar assíntotas:
– Verticais quando :
e
. Logo
– Verticais quando
são assíntotas verticais.
– Horizontal para :
– Horizontal para
e o mesmo vale para
. Então
é assíntota horizontal.
Passo 4
Estudar o sinal de
:
– Numerador é positivo se
, negativo se
.
– Denominador é positivo em
, negativo em
.
Montando em intervalos:
– Numerador
– Denominador
Montando em intervalos:
Passo 5
Derivada primeira e monotonicidade:
Como
e
em todo o domínio, conclui-se
isto é,
é estritamente crescente em cada um dos três intervalos.
Passo 6
Derivada segunda e concavidade:
Partindo de
Partindo de
obtém‐se
O fator
é sempre positivo. A concavidade muda de sinal onde
, ou seja, em
. Analisando sinal de
:
– Em :
e
(côncavo para baixo).
– Em :
e
(côncavo para cima).
– Em :
e
(côncavo para cima).
– Em :
e
(côncavo para baixo).
O ponto é ponto de inflexão.
– Em
– Em
– Em
– Em
O ponto
Passo 7
Esboço qualitativo dos quatro ramos, usando:
– Assíntotas (verticais) e
(horizontal).
– Crescente em cada intervalo.
– Sinal de e concavidade conforme tabela do Passo
e Passo
.
– Simetria ímpar (origem).
– Assíntotas
– Crescente em cada intervalo.
– Sinal de
– Simetria ímpar (origem).
Em palavras:
– Para ,
, a curva cresce, é côncava para cima até
tendendo a
.
– No intervalo ,
cai de
até
, permanece crescente (pois menos negativo é maior) mas côncava para baixo.
– Em , sobe de
a
, côncava para cima.
– Em , desce de
a
, côncava para baixo.
– Para
– No intervalo
– Em
– Em
Resposta
O gráfico de
possui:
Domínio
.
Intercepto
.
Função ímpar (simetria na origem).
Assíntotas verticais
e horizontal
.
Crescente em cada ramo, sem máximos ou mínimos interiores.
Concavidade alternando em cada intervalo, com ponto de inflexão em
.
O esboço mostra quatro ramos aproximando‐se das assíntotas conforme descrito acima. (Ver descrição detalhada no Passo .)
O esboço mostra quatro ramos aproximando‐se das assíntotas conforme descrito acima. (Ver descrição detalhada no Passo