Calcule os seguintes limites:
lim x 1 ln (5 x)sen(pi x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
L = limxto1 ln(5x)sin(pi x)
O conteúdo aqui é cálculo de limite quando o denominador tende a zero e o numerador a um valor não nulo. Vamos usar expansão em série de Taylor (ou aproximação de primeira ordem) para sin em torno de x=1, além de análise de sinal para os limites laterais.

Passo 2

Avaliação direta em x=1: o numerador tende a
ln(5cdot1)=ln(5),
que é diferente de zero, e o denominador tende a
sin(picdot1)=sin(pi)=0
Portanto não temos a forma 0/0; trata-se de ln(5)/0, o que implica divergência (infinito ou menos infinito).

Passo 3

Para entender o comportamento, escrevemos x=1+h com hto0. Então
sin(pi x)=sinl(pi+pi hr) =-sin(pi h) approx -pi h = -pi(x-1)
Assim, para xapprox1,
ln(5x)sin(pi x) approx ln(5x)-pi(x-1)
Como ln(5x)toln(5)neq0, o comportamento dominante é
ln(5)-pi(x-1)

Passo 4

Analisando os dois lados:
Para xto1^- temos x-1<0, logo -pi(x-1)>0. Como ln(5)>0, o quociente tende a +infty.
Para xto1^+ temos x-1>0, logo -pi(x-1)<0. Assim o quociente tende a -infty.

Passo 5

Os limites laterais não coincidem (um é +infty e o outro é -infty), logo o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe:
limxto1^- ln(5x)sin(pi x)=+infty, limxto1^+ ln(5x)sin(pi x)=-infty

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