Considere a função
Indique os máximos ou mínimos locais, caso a função possua.
Passo 1
Vamos resumir: temos a função f(x)=\frac{x-4}{x^{2}-x+4}, o que cai em cálculo diferencial (derivadas e extremos locais). Para resolver, vamos usar a regra do quociente, achar f’(x), achar pontos críticos e analisar o sinal de f’ em cada intervalo.
Passo 2
Para achar a derivada usamos a regra do quociente: se f(x)=u(x)/v(x), então
Aqui u(x)=x-4 e v(x)=x^{2}-x+4. Calculando as derivadas u’(x)=1 e v’(x)=2x-1.
Passo 3
Substituindo em f’(x):
Passo 4
Agora simplificamos o numerador N(x):
Passo 5
Como o denominador (x{2}-x+4){2} é sempre positivo (discriminante negativo), basta resolver N(x)=0:
Passo 6
Para decidir se são mínimos ou máximos, analisamos o sinal de f’(x)=N(x)/(…) nos intervalos: x<0, 0<x<8 e x>8.
- Em x<0: x(x-8)>0 então N(x)<0 e f’(x)<0 (decrescente).
- Em 0<x<8: x(x-8)<0 então N(x)>0 e f’(x)>0 (crescente).
- Em x>8: x(x-8)>0 então N(x)<0 e f’(x)<0 (decrescente).
Passo 7
Assim em x=0 a derivada muda de negativa para positiva (mínimo local) e em x=8 de positiva para negativa (máximo local).
Passo 8
Para fechar, calculamos os valores: f(0)=(0-4)/(0-0+4)=-1 e f(8)=(8-4)/(64-8+4)=4/60=1/15.
Resposta
Mínimo local em (0,,-1) e máximo local em (8,,1/15).