Considere a função
f(x)=x-4x^2-x+4
Indique os máximos ou mínimos locais, caso a função possua.

Passo 1

Vamos resumir: temos a função f(x)=\frac{x-4}{x^{2}-x+4}, o que cai em cálculo diferencial (derivadas e extremos locais). Para resolver, vamos usar a regra do quociente, achar f’(x), achar pontos críticos e analisar o sinal de f’ em cada intervalo.

Passo 2

Para achar a derivada usamos a regra do quociente: se f(x)=u(x)/v(x), então
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2
Aqui u(x)=x-4 e v(x)=x^{2}-x+4. Calculando as derivadas u’(x)=1 e v’(x)=2x-1.

Passo 3

Substituindo em f’(x):
f'(x)=1cdot(x^2-x+4)-(x-4),(2x-1)(x^2-x+4)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador N(x):
N(x)=x^2-x+4-(2x^2-9x+4)=-x^2+8x=-x(x-8)

Passo 5

Como o denominador (x{2}-x+4){2} é sempre positivo (discriminante negativo), basta resolver N(x)=0:
-x(x-8)=0implies x=0ou x=8

Passo 6

Para decidir se são mínimos ou máximos, analisamos o sinal de f’(x)=N(x)/(…) nos intervalos: x<0, 0<x<8 e x>8.
  • Em x<0: x(x-8)>0 então N(x)<0 e f’(x)<0 (decrescente).
  • Em 0<x<8: x(x-8)<0 então N(x)>0 e f’(x)>0 (crescente).
  • Em x>8: x(x-8)>0 então N(x)<0 e f’(x)<0 (decrescente).

Passo 7

Assim em x=0 a derivada muda de negativa para positiva (mínimo local) e em x=8 de positiva para negativa (máximo local).

Passo 8

Para fechar, calculamos os valores: f(0)=(0-4)/(0-0+4)=-1 e f(8)=(8-4)/(64-8+4)=4/60=1/15.

Resposta

Mínimo local em (0,,-1) e máximo local em (8,,1/15).

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