Vamos resolver o volume triplo [\iiint_{B} z , dx , dy , dz), onde é o conjunto definido por . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Assim, precisamos determinar os limites de integração para e .
Passo 2
Primeiro, observamos que theta varia de 0 a 2pi, já que estamos cobrindo todo o círculo no plano xy. Então:
0 <= theta <= 2pi
Passo 3
Para rho, notamos que para cada z, a condição x^2 + y^2 <= z se transforma em rho^2 <= z, ou seja, rho <= raizz. Portanto:
0 <= rho <= raizz
Passo 4
O valor de z varia entre o mínimo que satisfaz x^2 + y^2 <= z e o máximo dado pela condição z <= 4. O mínimo é z = 0 (quando rho = 0), então:
0 <= z <= 4
Passo 5
Agora, substituímos todas as variáveis e os limites na integral tripla:
integral triplaB z , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^raizz integral0^4 z cdot rho , dz , drho , dtheta
Mas notamos que z já está limitado por 0 a 4, então ajustamos a ordem: