integral triplaB z d x d y d z, onde B éo conjunto x^2+y^2 <= z <= 4.
l x=rho cos theta d x d y d z=rho d rho d theta d z y=rho sen theta z=z

Passo 1

Vamos resolver o volume triplo [\iiint_{B} z , dx , dy , dz), onde é o conjunto definido por . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Assim, precisamos determinar os limites de integração para e .

Passo 2

Primeiro, observamos que theta varia de 0 a 2pi, já que estamos cobrindo todo o círculo no plano xy. Então:
0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Para rho, notamos que para cada z, a condição x^2 + y^2 <= z se transforma em rho^2 <= z, ou seja, rho <= raizz. Portanto:
0 <= rho <= raizz

Passo 4

O valor de z varia entre o mínimo que satisfaz x^2 + y^2 <= z e o máximo dado pela condição z <= 4. O mínimo é z = 0 (quando rho = 0), então:
0 <= z <= 4

Passo 5

Agora, substituímos todas as variáveis e os limites na integral tripla:
integral triplaB z , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^raizz integral0^4 z cdot rho , dz , drho , dtheta
Mas notamos que z já está limitado por 0 a 4, então ajustamos a ordem:
integral0^4 integral0^2pi integral0^raizz z cdot rho , drho , dtheta , dz

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a rho primeiro:
integral0^raizz rho , drho = [ 12 rho^2 ]0^raizz = 12 z

Passo 7

Substituímos o resultado na integral:
integral0^4 integral0^2pi z cdot 12 z , dtheta , dz = 12 integral0^4 z^2 integral0^2pi dtheta , dz

Passo 8

Calculamos a integral em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então:
12 cdot 2pi integral0^4 z^2 , dz = pi integral0^4 z^2 , dz

Passo 9

Resolvemos a integral em relação a z:
integral0^4 z^2 , dz = [ 13 z^3 ]0^4 = 13 cdot 64 = 643

Passo 10

Finalmente, multiplicamos pelo pi:
pi cdot 643 = 64pi3

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac64pi3.

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