Calcule os seguintes limites.
lim x -2 8+x^34-x^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto -2 8 + x^34 - x^2
Este é um limite de função racional que, ao substituir diretamente, pode gerar uma forma indeterminada. Vamos usar conceitos de limites e fatoração para resolver.

Passo 2

Substituindo x=-2 diretamente na expressão, temos
8 + (-2)^3 = 8 - 8 = 0,
4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0,
logo a forma é tfrac00, que é indeterminada. Para eliminar essa indeterminação, precisamos manipular algebricamente a fração.

Passo 3

Aplicamos a fatoração da soma de cubos no numerador e da diferença de quadrados no denominador:
x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4),
4 - x^2 = (2 + x)(2 - x)
Como 2 + x = x + 2, a fração torna-se
8 + x^34 - x^2 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x + 2)(2 - x) = x^2 - 2x + 42 - x, x neq -2

Passo 4

Agora calculamos o limite da expressão simplificada substituindo x=-2:
x^2 - 2x + 4|x=-2 = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12,
2 - x|x=-2 = 2 - (-2) = 4
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limxto -2 x^2 - 2x + 42 - x = 124 = 3

Resposta

O valor do limite é 3.

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