Calcule os seguintes limites.
lim h 0 raiz[3]h+1-1h

Passo 1

O enunciado pede
limhto0raiz[3]h+1-1h
O conteúdo aqui é cálculo de limite que resulta em indeterminação do tipo 0/0. Para resolver vamos usar a técnica de racionalização de raízes cúbicas, baseada na identidade
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Passo 2

Tomando a=raiz[3]h+1 e b=1, percebemos que raiz[3]h+1-1 é fator de a^3-b^3=(h+1)-1=h. Então multiplicamos numerador e denominador por
l(raiz[3](h+1)^2+raiz[3]h+1cdot1+1^2r) =l((h+1)^2/3+(h+1)^1/3+1r)
Isso não altera o limite, pois multiplicamos por 1.

Passo 3

Fazendo a multiplicação temos
raiz[3]h+1-1h cdot (h+1)^2/3+(h+1)^1/3+1(h+1)^2/3+(h+1)^1/3+1 = (raiz[3]h+1-1)l((h+1)^2/3+(h+1)^1/3+1r)h,l((h+1)^2/3+(h+1)^1/3+1r)
Pelo produto notamos que o numerador vira
(raiz[3]h+1-1)l((h+1)^2/3+(h+1)^1/3+1r) =(h+1)-1 = h

Passo 4

Substituindo no quociente:
hhl((h+1)^2/3+(h+1)^1/3+1r) =1(h+1)^2/3+(h+1)^1/3+1
Agora basta aplicar o limite hto0:
(h+1)^1/3to1, (h+1)^2/3to1,
logo o denominador tende a 1+1+1=3 e o limite é
13

Resposta

13

Exercícios relacionados