Calcule os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto+inftyl(tfracx+3x+2r)^x. O tema é limites da forma indeterminada (1+0)^infty, e vamos precisar usar a definição do número e via limites.

Passo 2

Note que
x+3x+2 = 1 + 1x+2
Portanto nosso limite vira
limxto+inftyl(1 + 1x+2r)^x

Passo 3

Para explorar a definição de e, faça a troca de variável
y = x + 2 Rightarrow x = y - 2,
e então a expressão se transforma em
l(1 + 1yr)^y-2

Passo 4

Agora escrevemos
l(1 + 1yr)^y-2 = l(1 + 1yr)^y cdot l(1 + 1yr)^-2
Sabemos que limytoinfty(1+1/y)^y = e e que limytoinfty(1+1/y)^-2 = 1.

Passo 5

Juntando os resultados, o limite vale e times 1 = e.

Resposta

e

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