- Seja
a função definida por
.
a) (f)
b) i) Determine o domínio da função.
c) ii) Determine o conjunto imagem da função.
d) iii) Determine os pontos de máximo e mínimo da função.
a) (f)
b) i) Determine o domínio da função.
c) ii) Determine o conjunto imagem da função.
d) iii) Determine os pontos de máximo e mínimo da função.
Passo 1
A função em estudo é f(x)=x+\frac{1}{x}. Vamos precisar analisar o domínio (onde a expressão faz sentido), a derivada para achar extremos e o comportamento nos limites para obter a imagem.
Passo 2
Para achar o domínio de f(x)=x+\frac{1}{x}, note que a fração \frac{1}{x} exige x\neq0. Logo
Dom f=\mathbb{R}\setminus{0}.
Dom f=\mathbb{R}\setminus{0}.
Passo 3
Agora calculamos a derivada para achar pontos críticos. Temos
f’(x)=1-\frac{1}{x^2}.
Igualando a zero: 1-\frac{1}{x^2}=0 \implies x^2=1 \implies x=\pm1.
f’(x)=1-\frac{1}{x^2}.
Igualando a zero: 1-\frac{1}{x^2}=0 \implies x^2=1 \implies x=\pm1.
Passo 4
Para classificar esses pontos, usamos a segunda derivada:
f’’(x)=\frac{2}{x^3}.
Em x=1, f’’(1)=2>0, logo f tem mínimo local em x=1. Em x=-1, f’’(-1)=-2<0, logo f tem máximo local em x=-1.
Os valores são f(1)=1+1=2 e f(-1)=-1-1=-2.
f’’(x)=\frac{2}{x^3}.
Em x=1, f’’(1)=2>0, logo f tem mínimo local em x=1. Em x=-1, f’’(-1)=-2<0, logo f tem máximo local em x=-1.
Os valores são f(1)=1+1=2 e f(-1)=-1-1=-2.
Passo 5
Para a imagem, analisamos os limites e a monotonia:
— Em x\to0^+, f(x)\to+\infty; em x\to0^-, f(x)\to-\infty.
— Em x\to+\infty, f(x)\sim x\to+\infty; em x\to-\infty, f(x)\sim x\to-\infty.
Como f’(x)>0 para |x|>1 e f’(x)<0 para 0<|x|<1, obtém-se
imagem em (-\infty,-1]: de -\infty até f(-1)=-2, incluindo -2;
imagem em [1,\infty): de f(1)=2 até +\infty, incluindo 2.
Juntando as duas partes da imagem, temos (-\infty,-2]\cup[2,\infty).
— Em x\to0^+, f(x)\to+\infty; em x\to0^-, f(x)\to-\infty.
— Em x\to+\infty, f(x)\sim x\to+\infty; em x\to-\infty, f(x)\sim x\to-\infty.
Como f’(x)>0 para |x|>1 e f’(x)<0 para 0<|x|<1, obtém-se
imagem em (-\infty,-1]: de -\infty até f(-1)=-2, incluindo -2;
imagem em [1,\infty): de f(1)=2 até +\infty, incluindo 2.
Juntando as duas partes da imagem, temos (-\infty,-2]\cup[2,\infty).
Resposta
Domínio:
.
Imagem: ((-
abla?Oops repeated?).
Imagem: ((-
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