Calcule os seguintes limites:
lim x 12 4 x^2-12 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
lim x 12 4x^2-12x-1
Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas expressões para simplificar e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir o valor de x por 12 diretamente na expressão para ver o que acontece:
4(12)^2 - 12(12) - 1 = 4 times 14 - 11 - 1 = 1 - 10 = 00
A gente acaba com uma forma indeterminada 00 , o que significa que precisamos de um método para simplificar a expressão.

Passo 3

Quando encontramos essa forma indeterminada, uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para simplificar. Vamos fatorar o numerador 4x^2 - 1 .
Observamos que 4x^2 - 1 é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrito como (2x)^2 - 1^2 . A diferença de quadrados segue a fórmula:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Aplicando isso ao numerador:
4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)

Passo 4

Agora, vamos reescrever a expressão original usando essa fatoração:
4x^2 - 12x - 1 = (2x - 1)(2x + 1)2x - 1
Perceba que o termo 2x - 1 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar eliminando esse fator, desde que 2x - 1 neq 0 (o que é verdade para x diferente de 12 ).

Passo 5

Após simplificar, a expressão fica:
2x + 1
Agora, calcular o limite é fácil! Basta substituir x por 12 :
2 times 12 + 1 = 1 + 1 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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