Calcule os seguintes limites:
lim x 1 raizx^2+3-2x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 1 na expressão raizx^2+3-2x^2-1. Esse exercício está relacionado a limites em cálculo, especialmente lidando com formas indeterminadas tipo 00. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada racionalização para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
raiz1^2 + 3 - 21^2 - 1 = raiz4 - 20 = 2 - 20 = 00
A gente se depara com uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raizx^2+3 - 2 é raizx^2+3 + 2. Vamos fazer isso:
raizx^2+3 - 2x^2-1 times raizx^2+3 + 2raizx^2+3 + 2 = (raizx^2+3 - 2)(raizx^2+3 + 2)(x^2-1)(raizx^2+3 + 2)

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores usando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:
(raizx^2+3)^2 - (2)^2 = x^2 + 3 - 4 = x^2 - 1
Então, a expressão fica:
x^2 - 1(x^2-1)(raizx^2+3 + 2)

Passo 5

Observamos que x^2 - 1 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar cancelando esses termos:
cancelx^2 - 1cancelx^2-1 cdot (raizx^2+3 + 2) = 1raizx^2+3 + 2

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo x = 1 na expressão simplificada:
1raiz1^2+3 + 2 = 1raiz4 + 2 = 12 + 2 = 14

Resposta

O limite é 14.

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