Determine o produto vetorial a times b e verifique que ele é ortogonal a a e b.
a=3 i+3 j-3 k, b=3 i-3 j+3 k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial atimesb e mostrar que esse vetor é ortogonal a a e a b. O conteúdo é álgebra vetorial básica, usando a definição de determinante para produto vetorial e a propriedade de que, se vcdota=0 e vcdotb=0, então v é ortogonal a a e b.

Passo 2

Para calcular atimesb, montamos o determinante
atimesb = i & j & k 3 & 3 & -3 3 & -3 & 3
Expandindo:
atimesb =i,(3cdot3 - (-3)cdot(-3)) -j,(3cdot3 - (-3)cdot3) +k,(3cdot(-3) - 3cdot3)
Isso dá
atimesb =i(9-9)-j(9-(-9))+k(-9-9) =0,i-18,j-18,k =-18(j+k)

Passo 3

Verificamos a ortogonalidade com a calculando o produto escalar:
(atimesb)cdota =(-18,j-18,k)cdot(3,i+3,j-3,k) =0cdot3 +(-18)cdot3 +(-18)cdot(-3) =-54 +54 = 0
Logo é ortogonal a a.

Passo 4

Verificamos a ortogonalidade com b:
(atimesb)cdotb =(-18,j-18,k)cdot(3,i-3,j+3,k) =0cdot3 +(-18)cdot(-3)+(-18)cdot3 =54 -54 = 0
Logo é ortogonal a b.

Resposta

atimesb=-18(j+k),
e de fato (atimesb)cdota=0 e (atimesb)cdotb=0, mostrando ortogonalidade.

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