Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de
quando
tende a mais infinito. Isso está relacionado ao estudo de limites no cálculo, especialmente quando lidamos com expressões que envolvem potências e raízes. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão
. Quando
cresce muito, tanto
quanto
também crescem, e queremos entender a diferença entre eles. Para facilitar, vamos multiplicar e dividir a expressão por sua “parceira” conjugada, que é
. Isso ajuda a eliminar a raiz no denominador.
Passo 3
Então, temos:
No numerador, aplicamos a identidade
, então:
Passo 4
Agora, vamos analisar o denominador
. Quando
tende a mais infinito,
se comporta como
, já que o termo
se torna insignificante comparado a
. Então,
aproximadamente igual a
para valores grandes de
.
Passo 5
Substituindo essa aproximação, temos:
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende a mais infinito.
Passo 6
O limite de
quando
vai para mais infinito é:
Porque o denominador cresce sem limite, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero.
Resposta
O limite é
.