Calcule os seguintes limites:
lim x +infty x-raizx^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de x - raizx^2+1 quando x tende a mais infinito. Isso está relacionado ao estudo de limites no cálculo, especialmente quando lidamos com expressões que envolvem potências e raízes. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão x - raizx^2+1 . Quando x cresce muito, tanto x quanto raizx^2+1 também crescem, e queremos entender a diferença entre eles. Para facilitar, vamos multiplicar e dividir a expressão por sua “parceira” conjugada, que é x + raizx^2+1 . Isso ajuda a eliminar a raiz no denominador.

Passo 3

Então, temos:
x - raizx^2+1 = (x - raizx^2+1)(x + raizx^2+1)x + raizx^2+1
No numerador, aplicamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 , então:
= x^2 - (x^2 + 1)x + raizx^2+1 = x^2 - x^2 - 1x + raizx^2+1 = -1x + raizx^2+1

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador x + raizx^2+1 . Quando x tende a mais infinito, raizx^2+1 se comporta como x , já que o termo +1 se torna insignificante comparado a x^2 . Então, x + raizx^2+1 aproximadamente igual a 2x para valores grandes de x .

Passo 5

Substituindo essa aproximação, temos:
-1x + raizx^2+1 approx -12x
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando x tende a mais infinito.

Passo 6

O limite de -12x quando x vai para mais infinito é:
limx to +infty -12x = 0
Porque o denominador cresce sem limite, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero.

Resposta

O limite é 0 .

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