Determine o produto vetorial a times b e verifique que ele é ortogonal a a e b.
a=lang<= t^3, t^2, trang<=, b=lang<= t, 2 t, 3 trang<=

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o produto vetorial atimesb dos vetores dependentes do parâmetro t,
a=lang<= t^3,t^2,trang<=, b=lang<= t,2t,3trang<=,
e em seguida verificar que esse resultado é ortogonal a a e a b. O conteúdo envolvido é a definição de produto vetorial em R^3 e a verificação de ortogonalidade por produto escalar.

Passo 2

Lembrando que, para a=(a1,a2,a3) e b=(b1,b2,b3),
atimesb =l(a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1r)

Passo 3

Aqui a1=t^3,;a2=t^2,;a3=t e b1=t,;b2=2t,;b3=3t. Calculamos cada componente:
(atimesb)1 &= a2b3 - a3b2 = t^2cdot3t - tcdot2t = 3t^3 - 2t^2 = t^2(3t-2), (atimesb)2 &= a3b1 - a1b3 = tcdot t - t^3cdot3t = t^2 - 3t^4 = t^2(1-3t^2), (atimesb)3 &= a1b2 - a2b1 = t^3cdot2t - t^2cdot t = 2t^4 - t^3 = t^3(2t-1)
Portanto
atimesb =llang<= t^2(3t-2),;t^2(1-3t^2),;t^3(2t-1)rrang<=

Passo 4

Para verificar ortogonalidade, calculamos os produtos escalares
acdot(atimesb) e bcdot(atimesb)
Substituindo e somando termos de mesma potência de t, obtém-se zero em ambos os casos (os monômios se cancelam). Isso mostra que
acdot(atimesb)=0 e bcdot(atimesb)=0

Passo 5

Concluímos que atimesb realmente é ortogonal a a e a b, pois seus produto escalares são nulos.

Resposta

boxed atimesb =llang<= t^2(3t-2),;t^2(1-3t^2),;t^3(2t-1)rrang<=,
e verifica-se que atimesb é ortogonal a a e a b porque acdot(atimesb)=0 e bcdot(atimesb)=0.

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