Use a regra da cadeia para determinar as derivadas:
se z=e^yx, onde x=2 u cos v e y=4 u sen v, determine partial zpartial u e partial zpartial v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função composta z = e^yx , onde tanto x quanto y dependem das variáveis u e v . As expressões são dadas por:
x = 2u cos v e y = 4u sin v
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de z em relação a u e v , ou seja, partial zpartial u e partial zpartial v , utilizando a regra da cadeia.
Conteúdo da matéria: Cálculo de derivadas parciais de funções compostas, aplicação da regra da cadeia em várias variáveis.
O que vamos precisar:
  • Entender a regra da cadeia para derivadas parciais.
  • Calcular derivadas de funções exponenciais e trigonométricas.
  • Manipular expressões algébricas para simplificar os resultados.

Passo 2

Vamos relembrar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se z é função de x e y , que por sua vez são funções de u e v , então as derivadas parciais de z em relação a u e v são dadas por:
partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u
partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y , e também as derivadas de x e y em relação a u e v .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y .
Dada a função:
z = e^yx
a derivada de z em relação a x é:
partial zpartial x = e^yx cdot ( -yx^2 ) = -yx^2 e^yx
e a derivada de z em relação a y é:
partial zpartial y = e^yx cdot ( 1x ) = 1x e^yx

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v .
Dadas as expressões:
x = 2u cos v e y = 4u sin v
temos:
Para x :
partial xpartial u = 2 cos v
partial xpartial v = -2u sin v
Para y :
partial ypartial u = 4 sin v
partial ypartial v = 4u cos v

Passo 5

Com todas as derivadas parciais calculadas, vamos substituí-las na fórmula da regra da cadeia para encontrar partial zpartial u e partial zpartial v .
Primeiro, para partial zpartial u :
partial zpartial u = ( -yx^2 e^yx ) cdot (2 cos v) + ( 1x e^yx ) cdot (4 sin v)
Simplificando:
partial zpartial u = -2y cos vx^2 e^yx + 4 sin vx e^yx

Passo 6

Agora, para partial zpartial v :
partial zpartial v = ( -yx^2 e^yx ) cdot (-2u sin v) + ( 1x e^yx ) cdot (4u cos v)
Simplificando:
partial zpartial v = 2uy sin vx^2 e^yx + 4u cos vx e^yx

Passo 7

Vamos substituir agora as expressões de x e y para simplificar ainda mais as derivadas.
Sabemos que:
x = 2u cos v e y = 4u sin v
Substituindo na expressão de partial zpartial u :
partial zpartial u = -2 cdot 4u sin v cdot cos v(2u cos v)^2 e^4u sin v2u cos v + 4 sin v2u cos v e^4u sin v2u cos v
Simplificando:
partial zpartial u = -8u sin v cos v4u^2 cos^2 v e^2 tan v + 4 sin v2u cos v e^2 tan v
= -2 sin vu cos v e^2 tan v + 2 sin vu cos v e^2 tan v = 0
Para partial zpartial v :
partial zpartial v = 2u cdot 4u sin v cdot sin v(2u cos v)^2 e^2 tan v + 4u cos v2u cos v e^2 tan v
Simplificando:
partial zpartial v = 8u^2 sin^2 v4u^2 cos^2 v e^2 tan v + 2 e^2 tan v
= 2 sin^2 vcos^2 v e^2 tan v + 2 e^2 tan v
Fatorando:
= 2 e^2 tan v ( sin^2 vcos^2 v + 1 )
Sabendo que 1 + tan^2 v = sec^2 v :
= 2 e^2 tan v sec^2 v

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 0
partial zpartial v = 2 e^2 tan v sec^2 v

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