Use a regra da cadeia para determinar as derivadas:
se
, onde
e
, determine
.
se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função composta
, onde tanto
quanto
dependem das variáveis
e
. As expressões são dadas por:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
, utilizando a regra da cadeia.
Conteúdo da matéria: Cálculo de derivadas parciais de funções compostas, aplicação da regra da cadeia em várias variáveis.
O que vamos precisar:
- Entender a regra da cadeia para derivadas parciais.
- Calcular derivadas de funções exponenciais e trigonométricas.
- Manipular expressões algébricas para simplificar os resultados.
Passo 2
Vamos relembrar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se
é função de
e
, que por sua vez são funções de
e
, então as derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e também as derivadas de
e
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Dada a função:
a derivada de
em relação a
é:
e a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Dadas as expressões:
temos:
Para
:
Para
:
Passo 5
Com todas as derivadas parciais calculadas, vamos substituí-las na fórmula da regra da cadeia para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos substituir agora as expressões de
e
para simplificar ainda mais as derivadas.
Sabemos que:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Fatorando:
Sabendo que
:
Resposta
As derivadas parciais são: