Calcule os seguintes limites:
lim x -1^-(3x+1-5x^2-1)

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é para calcular o limite quando x se aproxima de -1 pela esquerda da expressão 3x+1 - 5x^2-1. A matéria envolvida é cálculo de limites, especialmente lidando com funções racionais que têm denominadores que podem chegar a zero. Vamos precisar simplificar essa expressão e entender como cada parte se comporta perto de x = -1 .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os denominadores das frações. A expressão tem x + 1 e x^2 - 1 . Sabemos que x^2 - 1 pode ser fatorado assim:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, agora temos denominadores que são múltiplos de x + 1 . Isso vai ajudar na hora de combinar as frações.

Passo 3

Vamos encontrar um denominador comum para as duas frações. O denominador comum será (x - 1)(x + 1) , que já vimos que é igual a x^2 - 1 . Agora, reescrevemos cada fração com esse denominador:
3x + 1 = 3(x - 1)(x + 1)(x - 1) = 3(x - 1)x^2 - 1
5x^2 - 1 já está com o denominador comum áá

Passo 4

Agora que as frações têm o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores:
3(x - 1)x^2 - 1 - 5x^2 - 1 = 3(x - 1) - 5x^2 - 1
Vamos simplificar o numerador:
3(x - 1) - 5 = 3x - 3 - 5 = 3x - 8
Então, a expressão fica:
3x - 8x^2 - 1

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando x se aproxima de -1 pela esquerda ( x -1^- ). Primeiro, vamos ver o que acontece com o denominador e o numerador separadamente.
  • Denominador: x^2 - 1 quando x = -1 é (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 . Mas precisamos ver se está se aproximando de positivo ou negativo.
  • Numerador: 3x - 8 quando x = -1 é 3(-1) - 8 = -3 - 8 = -11 .
Agora, perto de x = -1 , se x está vindo pela esquerda, então x é um pouco menor que -1, tipo -1.1, -1.01, etc.
  • x + 1 será um número negativo muito pequeno.
  • x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Já sabemos que x + 1 é negativo e x - 1 com x próximo de -1 será -1 -1 = -2 , que também é negativo. Então, o denominador x^2 - 1 será positivo (negativo vezes negativo dá positivo).

Passo 6

Agora juntando tudo, a expressão fica:
3x - 8x^2 - 1
Quando x -1^- :
  • Numerador: 3x - 8 se aproxima de -11
  • Denominador: x^2 - 1 se aproxima de 0^+ (positivo e muito pequeno)
Então, temos uma fração onde o numerador tende a -11 e o denominador a 0^+. Isso significa que a fração tende a -infty, pois -11 dividido por um número positivo muito pequeno resulta em um número negativo muito grande.

Resposta

lim x -1^- (3x+1 - 5x^2-1) = -infty

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