Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é para calcular o limite quando
se aproxima de
pela esquerda da expressão
. A matéria envolvida é cálculo de limites, especialmente lidando com funções racionais que têm denominadores que podem chegar a zero. Vamos precisar simplificar essa expressão e entender como cada parte se comporta perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os denominadores das frações. A expressão tem
e
. Sabemos que
pode ser fatorado assim:
Então, agora temos denominadores que são múltiplos de
. Isso vai ajudar na hora de combinar as frações.
Passo 3
Vamos encontrar um denominador comum para as duas frações. O denominador comum será
, que já vimos que é igual a
. Agora, reescrevemos cada fração com esse denominador:
Passo 4
Agora que as frações têm o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando
se aproxima de
pela esquerda (
). Primeiro, vamos ver o que acontece com o denominador e o numerador separadamente.
- Denominador:
quando é . Mas precisamos ver se está se aproximando de positivo ou negativo. - Numerador:
quando é .
Agora, perto de
, se
está vindo pela esquerda, então
é um pouco menor que
, tipo
,
, etc.
-
será um número negativo muito pequeno. -
. Já sabemos que é negativo e com próximo de será , que também é negativo. Então, o denominador será positivo (negativo vezes negativo dá positivo).
Passo 6
Agora juntando tudo, a expressão fica:
Quando
:
- Numerador:
se aproxima de - Denominador:
se aproxima de (positivo e muito pequeno)
Então, temos uma fração onde o numerador tende a
e o denominador a
. Isso significa que a fração tende a
, pois
dividido por um número positivo muito pequeno resulta em um número negativo muito grande.