Calcule os seguintes limites:
lim t 1(e^t-et-1, ln t1-t, 2)

Passo 1

O enunciado pede
limtto1l(e^t-et-1,;ln t1-t,;2r)
O conteúdo envolvido são limites de funções reais, onde usaremos a definição de derivada para a primeira componente e a regra de l’Hôpital para a segunda. A terceira é imediata, pois é constante.

Passo 2

Para
limtto1e^t-et-1
reconhecemos a definição de derivada de f(t)=e^t em t=1:
f'(1)=limtto1e^t-e^1t-1
Como f'(t)=e^t, temos f'(1)=e. Logo
limtto1e^t-et-1=e

Passo 3

Para
limtto1ln t1-t
temos indeterminação 0/0. Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
ddt(ln t)=1t, ddt(1-t)=-1
Portanto,
limtto1ln t1-t =limtto1tfrac1t-1 =-1t|t=1 =-1

Passo 4

A terceira componente é a constante 2. O limite de função constante é a própria constante, então
limtto12=2

Resposta

l(e,,-1,,2r)

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