Derive:
y=x ln (x)arctg(x)

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta quer. Temos a função y = x ln(x)arctan(x) e queremos encontrar a sua derivada em relação a x . Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra do Produto, além de conhecer as derivadas de ln(x) e arctan(x) .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Podemos pensar em y como sendo uma divisão de duas funções:
  • Numerador ( u ): x ln(x)
  • Denominador ( v ): arctan(x)

Passo 3

Vamos derivar o numerador u = x ln(x) . Aqui, temos um produto de duas funções: x e ln(x) . Para derivar esse produto, usamos a Regra do Produto, que diz:
u' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)
onde f(x) = x e g(x) = ln(x) .

Passo 4

Calculando as derivadas individuais:
  • Derivada de f(x) = x é f'(x) = 1 .
  • Derivada de g(x) = ln(x) é g'(x) = 1x .

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto:
u' = 1 cdot ln(x) + x cdot 1x = ln(x) + 1

Passo 6

Agora, vamos derivar o denominador v = arctan(x) . A derivada de arctan(x) é:
v' = 11 + x^2

Passo 7

Agora que temos u' e v' , podemos aplicar a Regra do Quociente, que diz:
y' = u'v - uv'v^2
Substituindo os valores:
y' = (ln(x) + 1) cdot arctan(x) - x ln(x) cdot 11 + x^2(arctan(x))^2

Resposta

A derivada de y = x ln(x)arctan(x) é:
y' = (ln(x) + 1) arctan(x) - x ln(x)1 + x^2(arctan(x))^2

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