Calcule os seguintes limites:
lim x 0 3 x+tg(x)sen(x)+tg^2(x)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
limx to 0 3x + tan(x)sin(x) + tan^2(x)
Percebemos que, ao substituir x=0, tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, caracterizando uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver isso, vamos usar a regra de l’Hôpital, que diz que, se limxto af(x)=0 e limxto ag(x)=0 e f e g são diferenciáveis perto de a, então
limxto af(x)g(x) = limxto af'(x)g'(x),
desde que esse último limite exista.

Passo 2

Verificamos rapidamente que
limxto0l(3x + tan(x)r)=0 e limxto0l(sin(x) + tan^2(x)r)=0,
ou seja, temos mesmo a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, precisamos das derivadas do numerador e do denominador. Chamemos
f(x)=3x+tan(x), g(x)=sin(x)+tan^2(x)
Então
f'(x)=3 + sec^2(x),
g'(x)=cos(x) + 2,tan(x),sec^2(x)

Passo 4

Agora avaliamos essas derivadas em x=0:
f'(0)=3 + sec^2(0)=3+1=4,
g'(0)=cos(0) + 2,tan(0),sec^2(0)=1 + 2cdot0cdot1=1

Passo 5

Pela regra de l’Hôpital, o limite original é
limx to 0 3x + tan(x)sin(x) + tan^2(x) = limx to 0 f'(x)g'(x) = f'(0)g'(0) = 41 =4

Resposta

4

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