Calcule os seguintes limites:
lim x 0 1-cos xx

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto01-cos xx
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de forma indeterminada do tipo 0/0 e vamos usar a Regra de l’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: quando xto0, temos cos0=1, logo o numerador 1-cos xto0 e o denominador xto0. Podemos então aplicar a Regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x:
ddxl(1-cos xr)=sin x, ddx(x)=1
Pelo l’Hôpital,
limxto01-cos xx =limxto0sin x1 =limxto0sin x =0

Passo 3

Como verificação alternativa, podemos usar a série de Taylor de cos x em torno de zero:
cos x = 1 - x^22 + o(x^2),
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1-cos x = x^22 + o(x^2) Longrightarrow 1-cos xx = x2 + o(x),
cujo limite quando xto0 também é 0.

Resposta

0

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