Calcule os seguintes limites:
lim x 2 cos (pix)x-2

Passo 1

O enunciado pede
limxto2cos!(pix)x-2
que, ao substituir x=2, dá cos(pi/2)0=00, uma forma indeterminada. Para resolver, vamos usar a regra de L’Hospital, que troca o limite do quociente pelo quociente dos limites das derivadas, quando for 0/0.

Passo 2

Confirmando a forma indeterminada:
cos!l(tfracpi2r)=0 e 2-2=0,
logo 00.

Passo 3

Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador separadamente. Seja
f(x)=cos!(tfracpix), g(x)=x-2
Então
f'(x)=-sin!(tfracpix)cdotddx!(tfracpix) =-sin!(tfracpix)cdot(-tfracpix^2) =pix^2,sin!(tfracpix),
e
g'(x)=1

Passo 4

Substituindo no limite de f'(x)/g'(x):
limxto2cos!l(pixr)x-2 =limxto2pix^2sin!l(tfracpixr) =pi2^2,sin!l(tfracpi2r) =pi4cdot1 =pi4

Resposta

pi4

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