Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
y^prime+2 y=e^z ; y(0)=1

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial y' + 2y = e^z com a condição inicial y(0) = 1 utilizando transformadas de Laplace. As transformadas de Laplace são ferramentas matemáticas que nos ajudam a transformar equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de y'(z) é sY(s) - y(0) , onde Y(s) é a transformada de y(z) .
Ly' + 2Ly = Le^z

Passo 3

Substituímos as transformadas conhecidas:
sY(s) - y(0) + 2Y(s) = 1s - 1
Aqui, usamos que Le^z = 1s - 1 .

Passo 4

Substituímos o valor de y(0) = 1 na equação:
sY(s) - 1 + 2Y(s) = 1s - 1

Passo 5

Reagrupamos os termos com Y(s) :
Y(s)(s + 2) = 1s - 1 + 1

Passo 6

Simplificamos o lado direito da equação:
Y(s)(s + 2) = 1s - 1 + s - 1s - 1 = ss - 1

Passo 7

Isolamos Y(s) :
Y(s) = s(s - 1)(s + 2)

Passo 8

Realizamos a decomposição em frações parciais para simplificar a transformada inversa:
s(s - 1)(s + 2) = As - 1 + Bs + 2
Multiplicamos ambos os lados por (s - 1)(s + 2) :
s = A(s + 2) + B(s - 1)
Para encontrar A e B, escolhemos valores de s que simplificam a equação:
  • Para s = 1 :
1 = A(1 + 2) + B(1 - 1) Rightarrow 1 = 3A Rightarrow A = 13
  • Para s = -2 :
-2 = A(-2 + 2) + B(-2 - 1) Rightarrow -2 = -3B Rightarrow B = 23

Passo 9

Substituímos os valores de A e B:
Y(s) = 1/3s - 1 + 2/3s + 2

Passo 10

Aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar y(z) :
y(z) = 13e^z + 23e^-2z

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(z) = 13e^z + 23e^-2z

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