Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
utilizando transformadas de Laplace. As transformadas de Laplace são ferramentas matemáticas que nos ajudam a transformar equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de
é
, onde
é a transformada de
.
Passo 3
Substituímos as transformadas conhecidas:
Aqui, usamos que
.
Passo 4
Substituímos o valor de
na equação:
Passo 5
Reagrupamos os termos com
:
Passo 6
Simplificamos o lado direito da equação:
Passo 7
Isolamos
:
Passo 8
Realizamos a decomposição em frações parciais para simplificar a transformada inversa:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Para encontrar A e B, escolhemos valores de s que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Substituímos os valores de A e B:
Passo 10
Aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: