Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
y^prime+5 y=0 ; y(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver a equação diferencial y' + 5y = 0 usando transformadas de Laplace, com a condição inicial y(1) = 0 . Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais e como a transformada de Laplace pode ajudar a resolver essas equações de forma mais fácil, especialmente quando temos condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função no tempo y(t) em uma função no domínio da frequência Y(s) . Isso facilita resolver equações diferenciais porque transforma derivadas em multiplicações simples.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial y' + 5y = 0 :
Ly' + 5Ly = L0
Sabemos que Ly' = sY(s) - y(0) e Ly = Y(s) . Substituindo na equação, temos:
sY(s) - y(0) + 5Y(s) = 0

Passo 4

Vamos isolar Y(s) :
Y(s)(s + 5) = y(0)
Y(s) = y(0)s + 5

Passo 5

Agora, precisamos achar y(0) . No entanto, o enunciado nos dá y(1) = 0 , que é a condição em t = 1 . Para usar a transformada de Laplace, que geralmente considera condições em t = 0 , vamos assumir que a condição inicial y(0) não foi fornecida. Isso significa que talvez haja um erro no enunciado ou precisamos de mais informações.
Mas, se considerarmos y(0) = 0 , então:
Y(s) = 0s + 5 = 0

Passo 6

Aplicando a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t) :
y(t) = L^-10 = 0

Resposta

A solução da equação diferencial y' + 5y = 0 com a condição y(1) = 0 é y(t) = 0 .

Exercícios relacionados