Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver a equação diferencial
usando transformadas de Laplace, com a condição inicial
. Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais e como a transformada de Laplace pode ajudar a resolver essas equações de forma mais fácil, especialmente quando temos condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função no tempo
em uma função no domínio da frequência
. Isso facilita resolver equações diferenciais porque transforma derivadas em multiplicações simples.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial
:
Sabemos que
e
. Substituindo na equação, temos:
Passo 4
Vamos isolar
:
Passo 5
Agora, precisamos achar
. No entanto, o enunciado nos dá
, que é a condição em
. Para usar a transformada de Laplace, que geralmente considera condições em
, vamos assumir que a condição inicial
não foi fornecida. Isso significa que talvez haja um erro no enunciado ou precisamos de mais informações.
Mas, se considerarmos
, então:
Passo 6
Aplicando a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial
com a condição
é
.