Calcule os seguintes limites:
lim x pi6 sen(x+5 pi6)cotg^3 x-3 cotg x

Passo 1

O enunciado pede
limxtopi6sinl(x+5pi6r)cot^3 x-3cot x
O assunto é limites de função e, ao percebermos uma forma 0/0, vamos usar a regra de l’Hôpital. Precisamos das derivadas de sin, cot e csc.

Passo 2

Avaliar numerador e denominador em x=pi6:
Numerador:
sinl(tfracpi6+tfrac5pi6r)=sinpi=0
Denominador:
cotl(tfracpi6r)=raiz3, cot^3l(tfracpi6r)-3cotl(tfracpi6r) =(raiz3)^3-3raiz3=3raiz3-3raiz3=0
Temos indeterminação 0/0, então aplicamos l’Hôpital.

Passo 3

Derivadas:
ddxsinl(x+tfrac5pi6r) =cosl(x+tfrac5pi6r),
ddxl(cot^3 x-3cot xr) =3cot^2 xcdotl(-csc^2 xr) -3l(-csc^2 xr) =3csc^2 xl(1-cot^2 xr)
Pela regra de l’Hôpital,
limxtopi6sin(x+5pi6)cot^3 x-3cot x =limxtopi6 cos(x+5pi6)3csc^2 x,(1-cot^2 x)

Passo 4

Avaliar em x=pi6:
cosl(tfracpi6+tfrac5pi6r)=cospi=-1, csc^2l(tfracpi6r)=1sin^2(pi/6)=4, cot^2l(tfracpi6r)=3,
3csc^2l(tfracpi6r),(1-cot^2l(tfracpi6r)) =3cdot4,(1-3)=12cdot(-2)=-24
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limxtopi6 cos(x+5pi6)3csc^2 x,(1-cot^2 x) =-1-24=124

Resposta

tfrac124

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