Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
y^prime+y=x e^-3 ; y(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y'(x) + y(x) = x,e^-3x, y(0) = -2,
usando transformadas de Laplace. Vamos precisar da propriedade
Ly' = s,Y(s) - y(0), da transformada de x,e^-3x e depois inverter por frações parciais.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e chamando
Y(s)=Ly(x),
temos
Ly' + Ly = Lx,e^-3x Longrightarrow l(s,Y(s)-y(0)r) + Y(s) = 1(s+3)^2
Como y(0)=-2, a equação algébrica fica
(s+1),Y(s) + 2 = 1(s+3)^2

Passo 3

Isolando Y(s) obtemos
Y(s) = 1(s+3)^2 - 2s+1 = 1(s+1)(s+3)^2 ;-; 2s+1

Passo 4

Para inverter, decompondo
1(s+1)(s+3)^2 = As+1 + Bs+3 + C(s+3)^2,
temos
1 = A,(s+3)^2 + B,(s+1)(s+3) + C,(s+1)
Comparando coeficientes em s^2, s e termo constante, achamos
A=14, B=-14, C=-12
Logo
Y(s) = tfrac14s+1 - tfrac14s+3 - tfrac12(s+3)^2 ;-;2s+1 = -74,1s+1 -14,1s+3 -12,1(s+3)^2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa a cada termo, usamos
L^-1ltfrac1s+1r = e^-x, L^-1ltfrac1s+3r = e^-3x, L^-1ltfrac1(s+3)^2r = x,e^-3x
Assim o sinal vai para
y(x) = -74e^-x - 14e^-3x - 12,x,e^-3x

Resposta

y(x) = -74,e^-x -14,e^-3x -x2,e^-3x

Exercícios relacionados