Calcule os seguintes limites:
2.
lim x 0 sen x3 x^2+2 x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0sin x3x^2+2x
Esse tipo de problema envolve indeterminação do tipo tfrac00, e podemos resolver usando desenvolvimento em série de Taylor ou a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Vamos verificar a indeterminação substituindo :
e , logo temos . Podemos então usar a expansão em série para e para o denominador.

Passo 3

Expandindo em torno de x=0, temos
sen x = x - x^36 + o(x^3),
e
3x^2 + 2x = 2x + 3x^2

Passo 4

Substituindo essas expansões na fração, cancelamos o fator x:
sen x3x^2+2x = xl(1 - x^26 + o(x^2)r)x,(2 + 3x) = 1 - x^26 + o(x^2)2 + 3x
Tomando xto0 obtemos
limxto0sen x3x^2+2x = 12

Resposta

12

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