Calcule os seguintes limites:
3.
lim x 1 sen(pi x)x-1

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto1sin(pi x)x-1
Esse é um limite do tipo tfrac00, pois ao substituir x=1 temos sin(picdot1)=0 e 1-1=0. Para resolver, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que em caso de indeterminação tfrac00 podemos derivar numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos a indeterminação:
sin(picdot1)=0, 1-1=0,
logo temos 0/0.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
  • Derivada de sin(pi x) em relação a x é picos(pi x).
  • Derivada de x-1 em relação a x é 1.
    Portanto,
limxto1sin(pi x)x-1 =limxto1picos(pi x)1 =limxto1picos(pi x)

Passo 4

Agora avaliamos em x=1:
picos(picdot1)=picos(pi)=picdot(-1)=-pi

Resposta

-pi

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