Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
y^prime+20 y=6 sen 2 x ; y(0)=6

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y'(x) + 20,y(x) = 6sin(2x), y(0)=6
e pede a solução usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
Ly'=sY(s)-y(0) e Lsin(2x)=2/(s^2+4).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, temos
Ly' +20,Ly =;6,Lsin(2x)
ou seja
l(sY(s)-y(0)r)+20,Y(s) =6cdot2s^2+4
Substituindo y(0)=6, fica
(s+20),Y(s)-6 = 12s^2+4

Passo 3

Isolando Y(s),
(s+20),Y(s) =6 + 12s^2+4, Y(s) =6s+20 + 12(s+20)(s^2+4)

Passo 4

Precisamos decompor
12(s+20)(s^2+4) = As+20 + Bs + Cs^2+4
Multiplicando por (s+20)(s^2+4) e comparando coeficientes encontra-se
A=3101, B=-3101, C=60101
Logo
Y(s) =6s+20 +3/101s+20 -3/101,ss^2+4 +60/101s^2+4

Passo 5

Invertemos cada termo usando tabelas:
L^-11/(s+20)=e^-20x,
L^-1s/(s^2+4)=cos(2x),
L^-11/(s^2+4)=tfrac12sin(2x).
Assim
y(x) =6e^-20x +3101e^-20x -3101cos(2x) +60101cdot12sin(2x)
Agrupando e^-20x e simplificando, obtemos
y(x) =609101e^-20x -3101cos(2x) +30101sin(2x)

Resposta

y(x) =609101,e^-20x -3101cos(2x) +30101sin(2x)

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