Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
y^prime prime-y=sen x ; y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Vamos resolver a equação
y'' - y = sin x,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, usando transformada de Laplace. O conteúdo principal é aplicar Lcdot nos dois lados da EDO e depois inverter a transformada resultante.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da equação, com Y(s)=Ly(x), temos
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0) = s^2Y(s) - 1,
Ly = Y(s),
Lsin x = 1s^2+1
Substituindo em y'' - y = sin x:
l(s^2Y(s)-1r) - Y(s) = 1s^2+1

Passo 3

Reagrupando termos em Y(s):
(s^2 - 1)Y(s) - 1 = 1s^2+1 Longrightarrow (s^2-1)Y(s) = 1 + 1s^2+1
Longrightarrow Y(s) = 1s^2-1 + 1(s^2-1)(s^2+1)

Passo 4

Fazemos frações parciais em cada parcela. Primeiro,
1s^2-1 = 12l(1s-1-1s+1r)
Em seguida,
1(s^2-1)(s^2+1) = 14,1s-1 - 14,1s+1 - 12,1s^2+1
Somando as duas expansões obtemos
Y(s) = 34,1s-1 - 34,1s+1 - 12,1s^2+1

Passo 5

Cada termo é conhecido:
L^-1l1s-1r = e^x, L^-1l1s+1r = e^-x, L^-1l1s^2+1r = sin x
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y(x) = 34e^x - 34e^-x - 12sin x = 32sinh x ;-;12sin x

Resposta

y(x) = 32sinh x ;-;12sin x

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