Calcule os seguintes limites:
4.
lim x pi4 cos x-sen xx-pi4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limx to pi4 cos x - sin xx - pi4
Aqui identificamos uma forma tfrac00, já que cosl(tfracpi4r)=sinl(tfracpi4r). Vamos usar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar numerador e denominador até sair da indeterminação.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada. No numerador,
cosl(tfracpi4r)-senl(tfracpi4r) =raiz22-raiz22=0,
e no denominador
pi4-pi4=0
Logo é tfrac00.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
ddxl(cos x - sin xr) =-sin x - cos x
Derivada do denominador:
ddxl(x - tfracpi4r)=1

Passo 4

O limite passa a ser
limx to pi4l(-sen x - cos xr)
Basta substituir x=tfracpi4:
-senl(tfracpi4r)-cosl(tfracpi4r) =-raiz22-raiz22=-raiz2

Resposta

-raiz2

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