Calcule os seguintes limites:
5.
lim x pi3 t^3 x-3 tg xcos (x+pi6)

Passo 1

O enunciado pede
limxtopi3tan^3x-3tan xcosl(x+pi6r),
que é um limite de tipo indeterminado 0/0. O conteúdo é aplicação da regra de l’Hôpital para limites envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Substituindo x=pi3:
tan(tfracpi3)=raiz3, então o numerador fica
(raiz3)^3-3raiz3=3raiz3-3raiz3=0
e o denominador
cosl(tfracpi3+tfracpi6r)=cosl(tfracpi2r)=0
Logo temos 0/0, o que nos autoriza a usar l’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de l’Hôpital,
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x)
quando f(a)=g(a)=0. Aqui f(x)=tan^3x-3tan x e g(x)=cos(x+tfracpi6).

Passo 4

Calculamos as derivadas:
Derivada do numerador
f'(x) =ddxl(tan^3xr)-3ddx(tan x) =3tan^2 xsec^2 x-3sec^2 x =3sec^2 x(tan^2 x-1)
Derivada do denominador
g'(x) =ddxl[cosl(x+tfracpi6r)r] =-sinl(x+tfracpi6r)
Agora avaliamos em x=tfracpi3:
tan^2l(tfracpi3r)-1=3-1=2, sec^2l(tfracpi3r)=1cos^2(pi/3)=4, sinl(tfracpi2r)=1
Logo
f'l(tfracpi3r) =3cdot4cdot2=24, g'l(tfracpi3r)=-1

Passo 5

Aplicando l’Hôpital, o limite vale
f'(pi/3)g'(pi/3) =24-1 =-24

Resposta

-24

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