Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
y^prime prime+2 y^prime-3 y=sen 2 x, y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
  1. , .
  2. Tabela: , , .

Passo 2

Aplicando Laplace em cada termo e usando , :
e
Logo a equação no domínio é

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s)=2(s^2+4),(s^2+2s-3)
Note que s^2+2s-3=(s-1)(s+3).

Passo 4

Fazemos frações parciais:
2(s^2+4)(s-1)(s+3) =As-1+Bs+3+Cs+Ds^2+4
Multiplicando por (s^2+4)(s-1)(s+3) e igualando coeficientes (ou avaliando em s=1,-3 e comparando potências de s), obtemos
A=110, B=-126, C=-465, D=-1465

Passo 5

Assim
Y(s) =1101s-1 -1261s+3 -465ss^2+4 -14651s^2+4
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
y(x) =110e^x -126e^-3x -465cos(2x) -1465,sin(2x)2

Resposta

y(x) =110e^x -126e^-3x -465cos(2x) -765sin(2x)

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