Calcule os seguintes limites ou mostre que não existem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que é uma parte da Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe quando nos aproximamos do ponto (1,1) por diferentes caminhos. Se todos os caminhos derem o mesmo resultado, então o limite existe e é esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de (1,1). Vamos tentar com a linha onde
. Substituindo
por
na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de (1,1) pelo caminho
, o limite é
.
Passo 3
Agora, vamos testar outro caminho para ter certeza. Vamos fixar
e deixar
se aproximar de 1. Substituindo
:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 1:
Legal, mais uma vez chegamos em
.
Passo 4
Para garantir que o limite realmente existe, podemos tentar um caminho mais geral. Vamos usar coordenadas polares, onde
e
, e
tende a 0. Substituindo na função:
Ao expandir e simplificar para
, todos os termos com
se tornam insignificantes, e o limite é novamente
.
Resposta
O limite é
.