Calcule os seguintes limites ou mostre que não existem.
lim (x, y) (1,1) 2 x yx^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (1,1) 2 x yx^2+2 y^2
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que é uma parte da Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe quando nos aproximamos do ponto (1,1) por diferentes caminhos. Se todos os caminhos derem o mesmo resultado, então o limite existe e é esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de (1,1). Vamos tentar com a linha onde y = x . Substituindo y por x na função, temos:
2 x cdot xx^2 + 2 x^2 = 2x^23x^2 = 23
Então, ao nos aproximarmos de (1,1) pelo caminho y = x , o limite é 23 .

Passo 3

Agora, vamos testar outro caminho para ter certeza. Vamos fixar y = 1 e deixar x se aproximar de 1. Substituindo y = 1 :
2 x cdot 1x^2 + 2 cdot 1^2 = 2xx^2 + 2
Agora, calculamos o limite quando x se aproxima de 1:
limx to 1 2xx^2 + 2 = 2 cdot 11 + 2 = 23
Legal, mais uma vez chegamos em 23 .

Passo 4

Para garantir que o limite realmente existe, podemos tentar um caminho mais geral. Vamos usar coordenadas polares, onde x = 1 + r cos(theta) e y = 1 + r sin(theta) , e r tende a 0. Substituindo na função:
2(1 + r cos(theta))(1 + r sin(theta))(1 + r cos(theta))^2 + 2(1 + r sin(theta))^2
Ao expandir e simplificar para r to 0 , todos os termos com r se tornam insignificantes, e o limite é novamente 23 .

Resposta

O limite é 23 .

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